- GENEOs, compactifications, and graphs
- Ahmad, Faraz <1983>
Subject
- MAT/03 Geometria
Description
- Our objective in this thesis is to study the pseudo-metric and topological structure of the space of group equivariant non-expansive operators (GENEOs). We introduce the notions of compactification of a perception pair, collectionwise surjectivity, and compactification of a space of GENEOs. We obtain some compactification results for perception pairs and the space of GENEOs. We show that when the data spaces are totally bounded and endow the common domains with metric structures, the perception pairs and every collectionwise surjective space of GENEOs can be embedded isometrically into the compact ones through compatible embeddings. An important part of the study of topology of the space of GENEOs is to populate it in a rich manner. We introduce the notion of a generalized permutant and show that this concept too, like that of a permutant, is useful in defining new GENEOs. We define the analogues of some of the aforementioned concepts in a graph theoretic setting, enabling us to use the power of the theory of GENEOs for the study of graphs in an efficient way. We define the notions of a graph perception pair, graph permutant, and a graph GENEO. We develop two models for the theory of graph GENEOs. The first model addresses the case of graphs having weights assigned to their vertices, while the second one addresses weighted on the edges. We prove some new results in the proposed theory of graph GENEOs and exhibit the power of our models by describing their applications to the structural study of simple graphs. We introduce the concept of a graph permutant and show that this concept can be used to define new graph GENEOs between distinct graph perception pairs, thereby enabling us to populate the space of graph GENEOs in a rich manner and shed more light on its structure.
- Il nostro obiettivo in questa tesi è studiare la struttura pseudo-metrica e topologica dello spazio degli operatori di gruppo equivarianti non espansivi (GENEO). Introduciamo le nozioni di compattazione di una coppia di percezioni, suriettività collezionistica e compattazione di uno spazio di GENEO. Otteniamo alcuni risultati di compattazione per le coppie di percezione e lo spazio dei GENEO. Mostriamo che quando gli spazi di dati sono totalmente limitati e dotano i domini comuni di strutture metriche, le coppie di percezione e ogni spazio suriettivo di raccolta dei GENEO possono essere incorporati isometricamente in quelli compatti attraverso incorporamenti compatibili. Una parte importante dello studio della topologia dello spazio dei GENEO consiste nel popolarlo in modo ricco. Introduciamo la nozione di permutante generalizzato e dimostriamo che anche questo concetto, come quello di permutante, è utile per definire nuovi GENEO. Definiamo gli analoghi di alcuni dei suddetti concetti in un contesto di teoria dei grafi, consentendoci di utilizzare la potenza della teoria dei GENEO per lo studio dei grafi in modo efficiente. Definiamo le nozioni di coppia di percezione del grafo, permutante del grafo e GENEO del grafo. Sviluppiamo due modelli per la teoria dei grafi GENEO. Il primo modello si rivolge al caso di grafi aventi pesi assegnati ai vertici, mentre il secondo si rivolge a pesi sugli spigoli. Dimostriamo alcuni nuovi risultati nella proposta teoria dei grafi GENEO e mostriamo la potenza dei nostri modelli descrivendo le loro applicazioni allo studio strutturale di grafi semplici. Introduciamo il concetto di permutante del grafo e mostriamo che questo concetto può essere utilizzato per definire nuovi GENEO del grafo tra coppie distinte di percezione del grafo, consentendoci così di popolare lo spazio del grafo GENEO in modo ricco e fare più luce sulla sua struttura.
Date
- 2023-05-22
Type
- Doctoral Thesis
- PeerReviewed
Format
- application/pdf
Identifier
urn:nbn:it:unibo-29197
Ahmad, Faraz (2023) GENEOs, compactifications, and graphs, [Dissertation thesis], Alma Mater Studiorum Università di Bologna. Dottorato di ricerca in Matematica