- Pricing the Guaranteed Lifetime Withdrawal Benefit (GLWB) in a Variable Annuity contract
- Scorrano, Mariangela
Subject
- Variable Annuities
- Guaranteed Lifetime Withdrawal Benefits
- Static approach
- Systematic mortality risk
- Interest rate and volatility risk
- GLWB
- ASSICURAZIONE E FINANZA: MATEMATICA E GESTIONE
- SECS-S/06 METODI MATEMATICI DELL'ECONOMIA E DELLE SCIENZE ATTUARIALI E FINANZIARIE
Description
- 2013/2014
- The past twenty years have seen a massive proliferation in insurance-linked derivative products. The public, indeed, has become more aware of investment opportunities outside the insurance sector and is increasingly trying to seize all the benefits of equity investment in conjunction with mortality protection. The competition with alternative investment vehicles offered by the financial industry has generated substantial innovation in the design of life products and in the range of benefits provided. In particular, equity-linked policies have become ever more popular, exposing policyholders to financial markets and providing them with different ways to consolidate investment performance over time as well as protection against mortality-related risks. Interesting examples of such contracts are variable annuities (VAs). This kind of policies, first introduced in 1952 in the United States, experienced remarkable growth in Europe, especially during the last decade, characterized by “bearish” financial markets and relatively low interest rates. The success of these contracts is due to the presence of tax incentives, but mainly to the possibility of underwriting several rider benefits that provide protection of the policyholder’s savings for the period before and after retirement. In this thesis, we focus in particular on the Guaranteed Lifetime Withdrawal Benefit (GLWB) rider. This option meets medium to long-term investment needs, while providing adequate hedging against market volatility and longevity-related risks. Indeed, based on an initial capital investment, it guarantees the policyholder a stream of future payments, regardless of the performance of the underlying policy, for his/her whole life. In this work, we propose a valuation model for the policy using tractable financial and stochastic mortality processes in a continuous time framework. We have analyzed the policy considering two points of view, the policyholder’s and the insurer’s, and assuming a static approach, in which policyholders withdraw each year just the guaranteed amount. In particular, we have based ourselves on the model proposed in the paper “Systematic mortality risk: an analysis of guaranteed lifetime withdrawal benefits in variable annuities” by M. C. Fung, K. Ignatieva and M. Sherris (2014), with the aim of generalizing it later on. The valuation, indeed, has been performed in a Black and Scholes economy: the sub-account value has been assumed to follow a geometric Brownian motion, thus with a constant volatility, and the term structure of interest rates has been assumed to be constant. These hypotheses, however, do not reflect the situation of financial markets. In order to consider a more realistic model, we have sought to weaken these misconceptions. Specifically we have taken into account a CIR stochastic process for the term structure of interest rates and a Heston model for the volatility of the underlying account, analyzing their effect on the fair price of the contract. We have addressed these two hypotheses separately at first, and jointly afterwards. As part of our analysis, we have implemented the theoretical model using a Monte Carlo approach. To this end, we have created ad hoc codes based on the programming language MATLAB, exploiting its fast matrix-computation facilities. Sensitivity analyses have been conducted in order to investigate the relation between the fair price of the contract and important financial and demographic factors. Numerical results in the stochastic approach display greater fair fee rates compared to those obtained in the deterministic one. Therefore, a stochastic framework is necessary in order to avoid an underestimation of the policy. The work is organized as follows. Chapter 1. This chapter has an introductory purpose and aims at presenting the basic structures of annuities in general and of variable annuities in particular. We offer an historical review of the development of the VA contracts and describe the embedded guarantees. We examine the main life insurance markets in order to highlight the international developments of VAs and their growth potential. In the last part we retrace the main academic contributions on the topic. Chapter 2. Among the embedded guarantees, we focus in particular on the Guaranteed Lifetime Withdrawal Benefit (GLWB) rider. We analyze a valuation model for the policy basing ourselves on the one proposed by M. Sherris (2014). We introduce the two components of the model: the financial market, on the one hand, and the mortality intensity on the other. We first describe them separately, and subsequently we combine them into the insurance market model. In the second part of the chapter we describe the valuation formula considering the GLWB from two perspectives, the policyholder’s and the insurer’s. Chapter 3. Here we implement the theoretical model creating ad hoc codes with the programming language MATLAB. Our numerical experiments use a Monte Carlo approach: random variables have been simulated by MATLAB high level random number generator, whereas concerning the approximation of expected values, scenario- based averages have been evaluated by exploiting MATLAB fast matrix-computation facilities. Sensitivity analyses are conducted in order to investigate the relation between the fair fee rate and important financial and demographic factors. Chapter 4. The assumption of deterministic interest rates, which can be acceptable for short-term options, is not realistic for medium or long-term contracts such as life insurance products. GLWB contracts are investment vehicles with a long-term horizon and, as such, they are very sensitive to interest rate movements, which are uncertain by nature. A stochastic modeling of the term structure is thus appropriate. In this chapter, therefore, we propose a generalization of the deterministic model allowing interest rates to vary randomly. A Cox-Ingersoll-Ross model is introduced. Sensitivity analyses have been conducted. Chapter 5. Empirical studies of stock price returns show that volatility exhibits “random” characteristics. Consequently, the hypothesis of a constant volatility is rather “counterfactual”. In order to consider a more realistic model, we introduce the stochastic Heston process for the volatility. Sensitivity analyses have been con- ducted. Chapter 6. In this chapter we price the GLWB option considering a stochastic process for both the interest rate and the volatility. We present a numerical comparison with the deterministic model. Chapter 7. Conclusions are drawn. Appendix. This section presents a quick survey of the most fundamental concepts from stochastic calculus that are needed to proceed with the description of the GLWB’s valuation model.
- Negli ultimi venti anni si `e assistito ad una massiccia proliferazione di prodotti de- rivati di tipo finanziario-assicurativo. Gli individui, infatti, sono diventati sempre piu` consapevoli delle opportunita` di investimento esistenti al di fuori del settore as- sicurativo e pertanto richiedono all’impresa di assicurazione non solo la protezione contro il rischio di mortalit`a/longevit`a, ma anche tutti i benefici di un investimento di capitali. Ed `e proprio per soddisfare le esigenze del mercato e per fronteggiare la concorrenza alimentata da altri competitors (banche, ecc.) che il mercato assi- curativo sta cambiando ed ha iniziato a sviluppare nuovi prodotti assicurativi ad elevato contenuto finanziario. Nell’ambito di questi prodotti, particolare interesse rivestono le cosiddette polizze variable annuities. Introdotte per la prima volta negli Stati Uniti nel 1952, esse hanno raggiunto ben presto un notevole sviluppo anche in Europa, soprattutto nell’ultimo decennio caratterizzato da mercati finanziari bearish e da tassi di interesse relativamente bassi. Il successo di questo tipo di contratti `e dovuto al favorevole trattamento fiscale di cui godono, ma soprattutto all’offerta di opzioni implicite che garantiscono una protezione dei risparmi degli investitori prima e dopo il pensionamento. In questo lavoro di tesi, ci siamo concentrati in particola- re sull’opzione Guaranteed Lifetime Withdrawal Benefit (GLWB). Essa permette di soddisfare esigenze di investimento di medio/lungo periodo e nello stesso tempo offre una discreta copertura al rischio dovuto alla volatilit`a dei mercati e al longevity risk. Infatti, a fronte di un capitale iniziale investito, garantisce all’assicurato un flusso di pagamenti futuri indipendente dalla performance della polizza sottostante per tutta la durata della sua vita. Piu` precisamente, in questo lavoro proponiamo un modello di valutazione per questo tipo di contratto, facendo ricorso a processi stocastici per descrivere la componente finanziaria e quella legata alla mortalità dell’assicurato. Analizziamo la polizza considerando sia il punto di vista del cliente che quello della compagnia di assicurazione. La nostra valutazione si è basata sul modello proposto da M. C. Fung, K. Ignatieva e M. Sherris nell’articolo “Systematic mortality risk: an analysis of guaranteed lifetime withdrawal benefits in variable annuities” (2014). Tuttavia le ipotesi alla base di questa analisi non trovano giustificazione nel mercato; in effetti, considerare un tasso di interesse ed una volatilità costanti sembra poco sensato. Proprio per proporre un modello più fedele al mercato, si è pensato di indebolire questi assunti, prendendo in considerazione un processo stocastico a sé stante per descrivere la dinamica del tasso di interesse e della volatilità. Dapprima abbiamo analizzato separatamente l’impatto dei due processi sul prezzo equo dell’opzione, per poi considerare anche il loro effetto congiunto. Come parte integrante del lavoro, abbiamo implementato il modello teorico proposto impiegando un approccio Monte Carlo. A questo scopo abbiamo creato codici ad hoc utilizzando il linguaggio di programmazione MATLAB, sfruttando al meglio tutte le sue potenzialità di calcolo matriciale. Sono state condotte analisi di sensitività per analizzare l’impatto sul prezzo equo dell’opzione di alcuni importanti parametri finanziari e demografici. I risultati numerici mostrano come effettivamente l’impiego di un approccio stocastico sia più capace di descrivere le fluttuazioni del mercato e quindi permetta di ottenere risultati più realistici. Il valore equo delle commissioni applicate dalla compagnia di assicurazione per l’attivazione della garanzia GLWB aumenta quando si passa da un approccio deterministico ad uno stocastico (soprattutto se quest’ultimo considera congiuntamente tassi di interesse e volatilità stocastici), rivelando come un adeguato modello stocastico sia necessario per evitare una sottovalutazione di tali polizze. Il lavoro è strutturato come segue: Capitolo 1. Questo capitolo ha un ruolo introduttivo e mira a fornire una descrizione delle caratteristiche principali delle polizze variable annuities. Si analizza l'evoluzione storica di tali polizze ed il loro sviluppo nei principali mercati internazionali. Segue una breve rassegna dei principali contributi accademici sulla valutazione di tali contratti e si spiegano le ragioni alla base di questo lavoro. Capitolo 2. Tra le varie garanzie implicite nei contratti variable annuity ci soffermiamo sull'opzione Guaranteed Lifetime Withdrawal Benefit. In questo capitolo analizziamo il modello di valutazione del contratto proposto da M. Sherris (2014); introduciamo le due componenti del modello (il mercato finanziario e l'intensità di mortalità) dapprima descrivendole separatamente, poi combinandole. Nella seconda parte del capitolo studiamo le formule per il calcolo del prezzo equo del contratto considerando due punti di vista, quello dell'assicurato e quello dell'assicuratore. Capitolo 3. In questo capitolo implementiamo il modello teorico creando codici ad hoc con il linguaggio di programmazione MATLAB. Le nostre valutazioni sono state realizzate utilizzando un approccio Monte Carlo. Diverse analisi di sensitività sono state condotte per analizzare l’impatto sul prezzo equo dell’opzione di alcuni importanti parametri finanziari e demografici. Capitolo 4. In questo capitolo si propone una generalizzazione del modello deterministico indebolendo l'ipotesi di struttura a termine dei tassi di interesse costante. Per descrivere la dinamica del tasso di interesse si introduce in particolare un processo Cox- Ingersoll- Ross. Capitolo 5. In questo capitolo si indebolisce l'ipotesi che considera costante la volatilità del fondo d'investimento prevedendo una dinamica descritta dal processo di Heston. Capitolo 6. Si descrive un modello che considera congiuntamente un processo stocastico per i tassi di interesse (CIR) e per la volatilità (Heston). Si conducono analisi di sensitività e si mostrano i risultati ottenuti. Capitolo 7. In questo capitolo traiamo le conclusioni del nostro lavoro. Appendice. Proponiamo una breve rassegna delle principali nozioni di calcolo stocastico necessarie per meglio comprendere la descrizione del modello di valutazione.
- XXVII Ciclo
- 1986
Date
- 2015-04-23T08:36:44Z
- 2016-04-21T04:01:08Z
- 2015-04-21
Type
- Doctoral Thesis
Format
- application/pdf
Identifier
urn:nbn:it:units-13907