- Ottimizazione del portafoglio con strategie passive:un'applicazione degli algoritmi di threshold accepting.
- Bjelanovic, Karla
Subject
- ottimizzazione portafoglio threshold accepting algoritmi algoritmo gestione passiva
- FINANZA AZIENDALE
- SECS-P/09 FINANZA AZIENDALE
Description
- 2006/2007
- Per una comprensione pi`u immediata del problema in questione, in questa tesi si `e scelto di ridurre al minimo le variabili, escludendo in tal modo elementi secondari quali ad esempio i costi di transazione ed i lotti minimi. La stuttura del lavoro svolto tuttavia lascia aperta la possibilit`a, in un secondo tempo, di considerare nel calcolo anche tali variabili. Considerata la complessit`a del problema in oggetto, la scelta di un algoritmo euristico come strumento di risoluzione `e risultata obbligata. I pi`u efficaci tra i diversi tipi di algoritmi euristici sono risultati essere gli algoritmi genetici (cf J.E. Beasley et al., An evolutionary heuristic for the index trackingproblem, European Journal of Operational Research 148: 621–643, 2003) e l’algoritmo di threshold accpeting (cf. Gilli, M. and E. K¨ellezi 2001., Threshold Accepting for Index Tracking: University of Geneva, Switzerland). Di conseguenza, seguendo in particolare Gilli, si `e deciso di adottare, per la risoluzione numerica del problema di ottimizzazione il threshold accepting (TA). La definizione delle linee guida di questo algoritmo sono state ricalcate da quelle elaborate da Gilli e Winker (cf. Gilli, M. e P. Winker 2007., Heuristic optimization Methods in Econometrics: University of Geneva, Switzerland and University of Giessen, Germany.), con l’introduzione di alcune varianti che si sono dimostrate particolarmente significative. L’algoritmo euristico, infatti `e stato raffinato aggiugendo una parte finale che consiste nell’applicazione di un metodo classico di ottimizzazione locale. Questa operazione ci ha consentito di raggiungere il primo risultato principale della tesi. In pratica, l’ottimizzazione locale ha consentito di individuare il fenomeno dei minimi che si trovano sul bordo dell’insieme ammissibile. La conclusione che si evince `e la seguente: nella costruzione di un portafoglio ridotto di titoli che ha il fine di replicare un determinato indice non sempre risulta efficace l’inclusione di un insieme allargato di elementi; al contrario si `e verificato che l’aggiunta di un titolo poco significativo pu`o peggiorarne l’azione di tracking dello stesso indice. Viene confermata, quindi, matematicamente la supposizione di alcuni analisti (cf. Elton, E. J. e Gruber M. J., Brown, S. J. and Goetzmann, W. N. 2003., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis: Wiley and Sons, Inc., Hoboken, NJ, 6th edn.) che la diversificazione del portafoglio pu`o essere raggiunta con un numero piuttosto basso dei titoli se questi sono ben scelti. In altre parole, la diversificazione del portafoglio non dipende dalla quantit`a dei titoli al suo interno, ma dalla loro “qualit`a”. Il secondo risultato ottenuto `e rappresentato dalla capacit`a dell’algoritmo nel determinare se all’interno di un indice oggetto vi siano delle componenti dominanti: una componente di un indice `e dominante se, intuitivamente, si trova sempre presente nei portafogli di cardinalit`a bassa che riproducono l’indice. In tal caso per giungere alla loro individuazione `e sufficiente verificare la loro presenza ed il loro peso nei vari portafogli prodotti dall’algoritmo. Ad esempio il fatto che l’indice azionario Hang Seng (Borsa di Hong Kong), sia dominato da alcune sue componenti (HSBC e China Mobile) `e ben noto agli analisti,che riconducono al comportamento dinamico di questi titoli la maggior parte dei movimenti dell’indice. L’output grafico rappresentato nella Figura 1, ottenuto utilizzando i risultati dell’elaborazione dell’algoritmo threshold accepting per replicare l’indice Hang Seng con soli 7 titoli, evidenzia il concetto delle componenti dominanti. Questo grafico rappresenta una matrice “a barre” di 500 righe e 38 colonne. Le colonne da 1 a 38 corrispondono ordinatamente alle 38 componenti di Hang Seng utilizzate per l’esecuzioni dell’algoritmo. Ogni riga corrisponde ad una esecuzione del programma e rappresenta in un codice-colore il portafoglio ottimo con numero titoli n = 7 fornito da quella esecuzione. Le 31 componenti assenti (cio`e le componenti con peso uguale a 0) sono rappresentate nello sfondo verde, le 7 componenti scelte con una barra in una scala di grigio proporzionale al suo peso (pi`u scuro = pi`u peso). Le esecuzioni sono ordinate per valori crescenti della funzione obiettivo, per cui il portafoglio ottimo fornito dal complesso delle 500 esecuzioni `e quello della riga uno. Si nota come al decrescere della funzione obiettivo si evidenziano sempre pi`u le bande delle componenti dominanti numero 28 e 38. L’istogramma del peso medio, nella Figura 2, rappresenta il peso medio delle 38 componenti nelle migliori 100 delle 500 esecuzioni. Le componenti sono elencate in ascissa per peso medio decrescente. Si osserva come le componenti dominanti cio`e le componenti 28 e 38 abbiano nelle migliori 100 esecuzioni un peso medio rispettivamente del 24.42% e del 15.41%, dove con esecuzioni migliori si intendono quelle con funzione obiettivo pi`u bassa. Le successive 5 componenti pi`u pesanti sono le componenti numero 30, 35, 26, e 21 con pesi rispettivi 5.58%, 4.47%, 3.86%, 3.26% e 3.15%. Non sono state rilevate componenti dominanti nell’indice S&P 100, mentre lle analisi sembrano indicare che ce ne siano nel MIB 30, meno significative rispetto al caso di Hang Seng. Durante la stesura della tesi, discutendo con alcuni gestori di Allianz S.p.A., si `e evidenziato che questo algoritmo potrebbe avere anche delle applicazioni utili nella gestione attiva. Nelle fasi di mercato particolarmente volatile, la maggior parte dei gestori preferisce assumere una posizione pi`u in linea con il mercato evitando, quindi, esposizioni concentrate su particolari titoli con il rischio di subire maggiori perdite. Con questo tipo di strumento a disposizione, vi sarebbe la possibilit`a di implementare tale strategia difensiva allocando gran parte del capitale in un numero ridotto di titoli altamente correlati con il mercato, senza necessariamente coprire tutte le posizioni del benchmark. TA `e un algoritmo euristico di ottimizzazione di recente introduzione, ed `e sostanzialmente una versione modificata e semplificata dell’algoritmo di simulated annealing. Come tutti gli euristici, anche TA parte da una soluzione ammissibile e cerca di migliorarla esplorandone un opportuno intorno. L’algoritmo termina quando non `e pi`u possibile trovare delle soluzioni migliori nell’intorno della soluzione corrente, ovvero dopo un prefissato tempo di calcolo o un prefissato numero di operazioni. Per sfuggire alle trappole dei minimi soluzioni locali, durante l’esecuzione dell’algortimo, TA “accetta” anche i movimenti in direzione opposta a quella della minimizzazione (uphill moves) purch´e non superino una certa “soglia” (da cui il nome threshold accepting).Come linguaggio di programmazione `e stato scelto il pacchetto statistico R (www.r-project.org). Il pacchetto statistico R sta diventando lo standard per la analisi dei dati in ambito accademico (e non solo). La sua caratteristica di essere liberamente disponibile ed open–source fa s`ı che i risultati di un lavoro di ricerca sviluppato in R siano verificabili da chiunque intenda effettuare un controllo per dare una valutazione del lavoro. A svantaggio, va riportato che di norma R richiede pi`u tempo di cpu rispetto a linguaggi come C++, ma, a posteriori, questo svantaggio `e minimo in quanto come si vedr´a i tempi tipici di esecuzione sono dell’ordine dell’ora (la workstation usata da J.E. Beasley et al. aveva tempi simili). In sostanza si `e privilegiata la trasparenza e la comprensibilit`a del codice rispetto alla sua efficienza (che `e un obiettivo che pu`o essere raggiunto in seguito). L’implementazione effettiva ha utilizzato tre indici di riferimento. Il primo indice scelto `e S&P 100 (meno volatile,composto da n = 100 titoli, ticker Bloomberg OEX Index). Il secondo indice `e Hang Seng (pi`u volatile, 4 composto da n = 40 titoli, ticker Bloomberg HSI Index). Il terzo indice scelto `e MIB 30 (media volatilit`a, 5 composto da n = 30 titoli, ticker Bloomberg MIB30 Index). I dati utilizzati sono i prezzi settimanali medi del 2006 e 2007 come scaricati da Bloomberg. Nell’implementazione, usando i dati di tutto il 2006 (in–sample) viene selezionato, utilizzando il codice in R, un portafoglio con un ridotto numero k di componenti (tipicamente 5 <= k <= 10) appunto per ridurre i costi di transazione. Si immagina poi di investire un capitale fissato convenzionalmente pari a 1000 in data 01/01/2007. Poi, con i dati del 2007, viene confrontato l’andamento di questo portafoglio rispetto all’indice (out–sample). I risultati appaiono molto confortanti in quanto, secondo la simulazione, il ribilanciamento del portafoglio selezionato andrebbe di norma effettuato dopo il primo trimestre 2007, ma basterebbe per questo far rigirare il programma.Il codice `e stato per scrupolo provato sutre tipi diversi di sistemi operativi (Mac OSX, Windows XP, Solaris 10) che supportano R. L’output `e di tipo testuale (viene fornita la composizione del portafoglio “ottimo”), ma anche grafico. Per un esempio di output grafico si veda Figura 3. Durante tutta la stesura della tesi `e stato fatto un notevole lavoro di ricerca bibliografica. Essendo il tema di ricerca relativamente recente, il materiale bibliografico necessario non era facilemente reperibile, soprattutto per i due testi fondamentali. Uno di questi (cf. Maringer, D. 2005. Portfolio Management with Heuristic Optimization), del quale esistono solo due copie in Italia, `e stato ottenuto con il prestito interbibliotecario di Ateneo. L’altro, invece,(cf. Winker, P. 2001. Optimization Heuristics in Econometrics: Application of Threshold Accepting) `e stato acquistato a Londra.
- XX Ciclo
- 1979
Date
- 2008-05-07T15:14:02Z
- 2008-05-07T15:14:02Z
- 2008-04-14
Type
- Doctoral Thesis
Format
- application/pdf
Identifier
urn:nbn:it:units-7254